Si la secuencia aleatoria \(\{x_t\}\) tiene media \(E[x_t]=\mu_t\) la autocovarianza esta dada por: \[\begin{equation} \begin{matrix} cov[x_{t_1},x_{t_2}] & = & E[(x_{t_1}-\mu_{t_1})(x_{t_2}-\mu_{t_2})] \\ & = & E[(x_{t_1}x_{t_2})] - \mu_{t_1}\mu_{t_2} \end{matrix} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \begin{matrix} E[(x_{t_1}-\mu_{t_1})(x_{t_2}-\mu_{t_2})] = E[(x_{t_1}x_{t_2} - x_{t_1}\mu_{t_2} - \mu_{t_1}x_{t_2} + \mu_{t_1}\mu_{t_2})] \\ = E[x_{t_1}x_{t_2}] - E[x_{t_1}\mu_{t_2}] - E[\mu_{t_1}x_{t_2}] + E[\mu_{t_1}\mu_{t_2}] \\ = E[x_{t_1}x_{t_2}] - E[x_{t_1}]\mu_{t_2} - \mu_{t_1}E[x_{t_2}] + \mu_{t_1}\mu_{t_2} \\ = E[x_{t_1}x_{t_2}] - \mu_{t_1}\mu_{t_2} - \mu_{t_1}\mu_{t_2} + \mu_{t_1}\mu_{t_2} \\ = E[x_{t_1}x_{t_2}] - \mu_{t_1}\mu_{t_2} \end{matrix} \end{equation}\]
La autocovarianza de orden \(j\) se define como;
\[\begin{equation} \gamma_j = cov(x_{t},x_{t-j}) = E[(x_{t}x_{t-j})] - \mu_{t}\mu_{t-j} \end{equation}\]
Ahora, definimos la auto-correlación como
\[\begin{equation} \rho_j = \frac{\gamma_j}{\gamma_0} \end{equation}\]
La ventaja de usar la auto-correlación en vez de la auto-covarianza es que la auto-correlación siempre va a estar entre -1 y 1, dado que la covarianza siempre es igual o menor que la varianza.
Las auto-covarianzas y auto-correlaciones expuestas anteriormente son los valores poblacionales, estas pueden ser estimadas en una muestra de tamaño \(T\) de la siguiente manera: \[\begin{align} \hat{\gamma_j} = & \frac{1}{T} \sum^T_{t=j+1} (x_t - \bar{x}_{j+1:T})(x_{t-j} - \bar{x}_{1:T-j}) \\ \hat{\rho_j} = & \frac{\hat{\gamma_j}}{\widehat{var(x_t)}} \end{align}\]